dilluns, 23 de juny de 2008

Problema lògic (14): El mestre infal·libe


Anselm va arribar amb cara d’emoció difícilment continguda. Tan bon punt va poder, o es va atrevir, va dir:
—Mestre, no us enfadeu amb mi, però he decidit començar una nova etapa en el meu ensenyament. Demà mateix emprendré la recerca d’un mestre del qual he sentit meravelles.
Els altres deixebles i el mateix Ben Pensat se’l miraven encuriosits.
—I quines meravelles t’han contat?—preguntà Ben Pensat—. On es troba aquest mestre? Com es diu?
—Ni sé com és diu, ni sé on habita —respongué Anselm—. De fet, crec que no habita enlloc. Diuen que viatja continuament per pobles i ciutats impartint les seues ensenyances. Diuen que darrerament el veieren per Cirebal. He pensat començar el meu viatge per allí.
—Sí que ha de fer meravelles —tercià Baruch—, quan decideixes abandonar açò i emprendre un viatge incert a la seua cerca!
—Digues-nos, alguna cosa més, per tal que ens fem una idea —demanà Constantí.
—En realitat, no puc dir molt. Bé, no puc dir molt, perquè no puc posar cap cas concret, però m’han dit que és infal·lible i que és capaç de resoldre els problemes que no pot resoldre ningú.
—Sí que és impresionant això, sí —feu, Ben Pensat sense poder evitar un cert sarcasme—. No cal que el busques, crec que no el trobaràs.
—Caram!, mestre, no sabia que foreu gelós.... —va prorrompre, estranyat, Anselm.


Per què va dir això Ben Pensat! Realment estava gelós? No podia trobar Anselm aquell savi si el buscava de debò?

Facil, eh?. Filòsofs i matemàtics i tots aquells que han estat contaminats per la lògica formal, absteniu-vos fins dijous, per favor.

5 comentaris:

Marta ha dit...

Estic pensant en allò de la força irresistible contra el cos inamovible, però no sé si vaig per bon camí. Ho comentaré amb Emili, quan acabe les opos, d'ací a unes horetes, a vore si se m'acut alguna cosa. Caram, Tobies, entre la calor que fa i lo torrat que tinc el cervell, estic apanyada! Gràcies per fer-nos pensar, però :)

Adolfo Llopis ha dit...

Hui es pot? Jo ho se :D

Vista Parcial ha dit...

Sí, ja es pot.

Adolfo Llopis ha dit...

A veure. Anselm ha dit 'Demá emprendré la recerca d'un mestre [...] capaç de resoldre els problemes que no pot resoldre ningú.'

Ben Pensat, correctament li respon, 'no cal que el busques, crec que no el trobarás'. Dic correctament perque és evident que el mestre Ben Pensat no està gelós. Ben Pensat s'alegraria molt si el seu deixeble trobara un mestre millor que ell i volguera anarse'n amb ell, per això es 'ben pensat'.

Malgrat tot, de la forma que Anselm ho ha plantejat, i com que Ben Pensat no diu mai falsedats, no és menys cert que Anselm està, si mes no enganyat, al menys confós, i és per això que Ben Pensat ha resultat sarcàstic amb ell.

Però anem a la qüestió. Es fals que existeixca un 'Mestre capaç de resoldre problemes que no pot resoldre ningú', perque si existeixen problemes que no pot resoldre ningú, aixó excloeix la posibilitat de que hi haja un mestre que puga resoldrel's. A mes, si hi ha un mestre capaç de resoldre qualsevol problema, aixó excloeix la posibilitat de que existeixquen problemes que no puga resoldre ningú. És una qüestió lògica que no necessita de saber si efectivament hi han problemes irresolubles o mestres infalibles, sencillament, no poden hi haure les dues coses al mateix temps.

Amb un exemple.

Suposem un problema P i un mestre M.

Si suposem a més, que el problema P és irresoluble, per tal de ser realment irresoluble no pot hi haure cap mestre (ni persona) que el puga resoldre, en cas contrari no és irresoluble. Per tant, irresolubleP -> ¬infalibleM

Ara si suposem que M és un mestre capaç de resoldre qualsevol problema, aleshores, per a que siga realment infalible, no pot hi haure cap problema que no siga capaç de resoldre, en cas contrari no seria infalible. Per tan, infalibleM -> ¬irresolubleP

Amb un altre exemple de la mitologia grega, no poden existir al mateix temps una rabosa que no es puga caçar i un caçador infalible. Els grecs, com que no tenien massa desenvulopada aquesta lògica, quan la seua mitologia es va trobar amb l'envolic de juntar ambdues figures mítiques, van haber d'obtar per convertirles en pedra a les dues.

No obstant tot això, a Ben Pensat podriem fer-li un tirò d'orelles per sabut, ja que es raonable suposar que l'enunciat d'Anselm és equivalent a 'Demá emprendré la recerca d'un mestre [...] capaç de resoldre els problemes que no pot resoldre ningú mes'. Si aquest haguera sigut l'enunciat efectiu d'Anselm, Ben Pensat no haguera pogut fer el sarcasme.

Salutacions!

P.D: Disculpeu per l'extensió del comentari, és que m'apetia escriure.

Emili Morant ha dit...

Afegiré un comentari a aquest fil, però no em feu massa cas, estic encara sota els efectes del temari d'oposicions (en particular del tema 71: la crisi dels fonaments de la Matemàtica...). Tota la meua resposta està guiada per aquesta circumstància i per l'advertiment de Tobies ("Matemàtics absteniu-vos...")

Aquest Nou Mestre és ben curiós: és infal·lible, és a dir, mai no erra en la resolució d'un problema (en la demostració d'un enunciat, podem convenir). Deixem-ho en: no fa cap deducció il·legítima a partir de les premisses que té un problema donat. Una sana costum, certament.

A més, és capaç de resoldre els problemes que no pot resoldre ningú. Re-interpretem-ho creativament: si un resultat/enunciat o la seua negació NO poden ser assolits mitjançant una deducció correcta ("no pot resoldre ningú") és que és un problema irresoluble (Alfredo ha comentat quelcom semblant). Com pot dir aleshores el Nou Mestre que "pot resoldre eixos problemes"? Se m'ocorre aquesta resposta, un poc rara: els problemes "irresolubles" els resol simplement "postulant-los". Si alguna cosa no pot deduir-se de les premisses amb què treballa el Nou Mestre, l'afegeix a les premisses. O en altres paraules (parlant en termes familiars per als matemàtics) convertint "proposicions indecidibles" en "axiomes".

Quin problema li veu a això el mestre Ben Pensat? Se m'ocorren dos:

1) El primer que se m'ocorre és que aquest procés d'incorporar com a "premisses/postulats/axiomes" tot allò que no sabem demostrar ni demostrar-ne la negació no s'acaba mai. No puc demostrar ni A ni la seua negació? Doncs afegisc "A" com a axioma. Però després d'això sempre trobarem un "B" indemostrable que haurem d'afegir als axiomes, etc. en un procés que no acaba mai. Potser per això el mestre Ben Pensat li diu a Anselm que no trobarà mai eixe Nou Mestre: sempre li quedarà algun "problema irresoluble" per "solucionar" ("incorporar" al sistema), perquè cada cop que afegeix un "A" ha de preguntar-se de nou si el problema on apareix "B" ha passat a ser resoluble o no... i després igual amb "C", amb "D"...

2) El segon que se m'ocorre és que cal alguna cosa més que ser infal·lible ("lògicament correcte?") per a distingir els problemes resolubles dels que no ho són. És a dir: els dubtes de Ben Pensat podrien ser relatius a la capacitat del "nou mestre" de discernir els problemes "irresolubles" dels que encara no hem resolt però podríem. Vos posaré "el típic exemple de Matemàtiques": si penseu en un número parell concret, trobareu dos nombres primers que sumats donen aquest número. Ningú no ha trobat mai un cas que no siga així, però tampoc ningú no ha demostrat que "haja de ser" així. És un problema (deducció lògica) que no hem sabut resoldre - i del qual no tenim cap garantia que siga resoluble. No és gens fàcil saber si un problema és o no resoluble - i si el Nou Mestre està mancat d'aquesta classe d'"omnipotència lògica" pot ben bé cometre errors catastròfics en la seua afició per a "postular" allò indemostrable (per exemple, si postula quelcom contradictori amb la resta d'axiomes, pot donar per acabat el seu Grand Tour ensenyant lògica...)

El que he fet és una mala paràfrasi d'algun teorema d'incompletitud (jo em sé, a mitges, el de "números" de Gödel, però no sé si hi ha anàlegs per a la lògica formal - crec que la lògica formal de primer ordre és completa d'una forma en què l'aritmètica no ho és). Però tinc dubtes seriosos que els "tirs" del problema vagen per ací...